Olof Sisak

I början av juli publicerade matematikerna Olof Sisask vid Stockholms universitet och Thomas Bloom vid Cambridgeuniversitetet en vetenskaplig studie på arxiv.org. Studien handlar om den ungerske matematikern Paul Erdős talteoretiska förmodande. Studien har fått stor uppmärksamhet bland matematiker och även uppmärksammats av amerikanska nättidskrifter som Quanta Magazine och Wired. Vi har ställt några frågor till Olof Sisask:

Vad är Paul Erdős talteoretiska förmodan?

Den handlar om att det är väldigt svårt att undvika vissa mönster bland uppsättningar heltal – så länge man inte inkluderar alltför få heltal i sin uppsättning. Mönstren ifråga är aritmetiska talföljder, dvs följder som 20, 22, 24 (en följd av längd 3) och 105, 110, 115, 120 (en följd av längd 4) som består av en rad tal med jämna mellanrum sinsemellan:

Förmodan säger att om en oändlig mängd heltal inte är alltför glest utspridd, så måste den innehålla oändligt många aritmetiska talföljder av vilken längd som helst.

Men vad menas med "glest utspridd" här? Om man tittar t.ex. på talen 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... så har dessa ingen chans att innehålla en aritmetisk talföljd av längd 3 eller längre: om man hoppar från ett tal i mängden till vilket efterföljande tal som helst, så kan man aldrig nå ens nästa tal i mängden genom att hoppa lika långt igen. Denna gleshet kan mätas matematiskt genom att titta på en viss summa: om man tar '1 delat på' varje tal i mängden och summerar, så får man ett ändligt värde:

1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2.

Denna likhet säger att, oavsett hur många termer man tar, så når man närmare och närmare talet 2, men aldrig förbi. Mängder av heltal där denna summa är ändlig kan vara väldigt glesa, och därmed undvika aritmetiska talföljder. Erdős förmodan säger att om en uppsättning heltal a_1, a_2, a_3, ... uppfyller att motsvarande summa divergerar, dvs växer förbi alla ändliga gränser, vilket på matematiska skrivs

 

 

 

då måste det finnas oändligt många aritmetiska talföljder av vilken längd som helst bland dessa tal a_1, a_2, a_3, ...

Varför är detta så centralt inom matematiken?

En intressant följd från förmodan handlar om primtal, dvs talen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... som är de som inte kan skrivas som en produkt av mindre positiva heltal. Primtalen blir allt glesare och glesare ju längre ut på tallinjen man tittar, men det finns precis tillräckligt många av dem för att de ska uppfylla villkoret för Erdős förmodan:

 

 

 

Om Erdős förmodan är sann, så innebär den direkt att primtalen innehåller aritmetiska talföljder av vilken längd som helst. Ben Green och Terence Tao lyckades bevisa detta faktum om primtal i 2008, med hjälp av väldigt avancerade metoder från kombinatorik, matematisk analys och talteori, och specifika egenskaper hos primtalen. Detta var ett mycket svårt problem; liknande problem om primtal har studerats i hundratals år. En fundamental del av svårigheten är att primtal är definierade genom konceptet multiplikation, medan aritmetiska talföljder handlar om addition. Erdős förmodan skulle innebära att man kan bortse helt från de multiplikativa egenskaperna av primtalen: Green-Tao satsen kan kanske förklaras genom att primtalen inte är alltför glest utspridda!

Men problemet, eller i alla fall vårt sätt att se det på, handlar om mycket mer än primtal eller mängder heltal. Det handlar egentligen om att sammanfläta olika delar av matematik på ett intressant sätt. Man ser det inte på ytan, men problemet är nära relaterat till högdimensionell konvex geometri och Fourieranalys – matematiken som används för signalbehandling.

Vad har du och Thomas Bloom kommit fram till?

Vi har lyckats visa att Erdős förmodan är sann för aritmetiska talföljder av längd 3, dvs att alla uppsättningar heltal som inte är alltför glesa innehåller oändligt många aritmetiska talföljder av längd 3. Så t.ex. för primtalen har vi följder som 3, 5, 7 och 11, 17, 23 – och det finns oändligt många sådana tripplar primtal. Vidare gäller detta för alla uppsättningar heltal som inte är alltför glesa, oavsett hur man försöker välja dem!

Hur har era resultat tagits emot?

Än så länge har resultaten tagits emot väldigt positivt, men vår artikel måste givetvis gå igenom peer review-processen, och först efter det kan den accepteras av forskningsvärlden som helt korrekt. En kul sak med artikeln är att den uppmärksammats en del utanför forskningsvärlden, genom artiklar i Quanta Magazine, Wired.com, Popular Mechanics och Interesting Engineering.

När kommer er artikel att publiceras efter peer review?

Artikeln är relativt lång, och det kommer nog krävas en hel del tid för peer review. Granskningsperioden kan ta allt från sex månader till fyra år, beroende på omständigheterna.

Vad forskar du mer om?

Just nu undersöker jag matematiska teorier kring ett viktigt begrepp inom maskininlärning, nämligen VC-dimension. Mer allmänt så är jag intresserad av frågor som ser elementära ut, som Erdős förmodan, men som har överraskande matematik bakom sig, och framförallt där metoder från Fourieranalys och sannolikhetslära är användbara.

Vad fick dig att satsa på matematik?

När jag var tonåring läste jag en bok om Fermats sista sats, och såg där för första gången ett matematiskt bevis: en vattentät förklaring av varför Pythagoras sats håller. Att man kunde förklara något som inte var uppenbart, på ett sätt som helt och hållet inte lämnade något tvivel över slutsatsen, var något som fascinerade mig, och något som jag älskat att hålla på med ända sedan dess.

 

Artikle på arxivorg: Breaking the logarithmic barrier in Roth's theorem on arithmetic progressions

Artikel i Quanta Magazine: Landmark Math Proof Clears Hurdle in Top Erdős Conjecture